Kommazahlen

Natürlich kann man mit Binär ebenfalls Kommazahlen abbilden.

Festkommazahlen

• Zahlen vor und nach den Komma sind getrennt, 123,456 -> 123 & 456
• Position des Kommas festgelegt
  • 9,87654321 (große Genauigkeit)
  • 98765432,1 (kleine Genauigkeit)
  • 98765,4321 (Mischung)
• nicht praktisch

Gleitkommazahlen

• Rationale und reelle Zahlen
• keine fixe Stellen vor und nach dem Komma
• Berechnung aufwendiger
• Hardware: Floating Point Unit (FPU)
• IEEE754: Ein Standard für Gleitkommazahlen

Darstellung nach IEEE754

• Binäre Form besteht aus: Vorzeichen + Exponent + Mantisse

Einfache Genauigkeit (Single Precision) – 32-Bit

Doppelte Genauigkeit (Double Precision) – 64-Bit

IEEE754 Binärzahl -> Dezimal

• Bias: fester Korrekturwert, der vom Exponent abgezogen wird.
  • \(127\) bei 32-Bit
  • \(1023\) bei 64-Bit

\( (-1)^{\color{#4493f8}{\text{Vorzeichen}}} \cdot (1 \cdot 2^0 + \color{#08ae08}{\text{Mantisse}}) \cdot \text{Basis}^{(\color{#ff8e00}{\text{Exponent}} - \color{#d91b29}{\text{Bias}})} \)

Beispiel (32-Bit)

\(\color{#4493f8}{0} \color{#ff8e00}{10000000} \color{#08ae08}{11000000000000000000000}_2\)

\( (-1)^{\color{#4493f8}{\text{0}}} \cdot (1 \cdot 2^0 + \color{#08ae08}{1} \cdot 2^{-1} + \color{#08ae08}{1} \cdot 2^{-2}) \cdot 2^{(\color{#ff8e00}{128} - \color{#d91b29}{127})} = \text{3,5}_{10} \)

Dezimal -> IEEE754 Binärzahl

Beispielzahl: \( \text{10,}25_{10} \)

1. Vorzeichen bestimmen: \(0\)
2. Vorkommazahl umrechnen:
   \( 10 : 2 = 5 \text{ (0)} \)
   \( 5 : 2 = 2\text{,5 (1)} \)
   \( 2 : 2 = 1\text{ (0)} \)
   \( 1 : 2 = 0\text{,5}\text{ (1)} \ \ \ \ \ \ \ \ \big\uparrow \)
   \( \rightarrow 1010_2 \)
3. Nachkommazahl umrechnen:
   \(0\text{,25} \cdot 2 = 0\text{,5 (0)} \ \ \ \ \big\downarrow \)
   \(0\text{,5} \cdot 2 = 1\text{ (1)} \)
   \( \rightarrow 01_2 \)
4. VK und NK kombinieren: \( 1010_2 \text{ und } 01_2 = 1010\text{,01}_2 \)
5. Zahl “normalisieren”: \(1010\text{,01}_2 \cdot 10^{\color{#6700EE}{3}} = \color{#08ae08}{1\text{,01001}}_2 \rightarrow \color{#08ae08}{01001_2}\)
6. Bestimmung des Exponent: \( \color{#d91b29}{\text{Bias}} + \color{#6700EE}{\text{Sprünge}} = \color{#d91b29}{127_{10}} + \color{#6700EE}{3} = \color{#ff8e00}{130_{10}} \)
   \( \color{#ff8e00}{130_{10}} \rightarrow \color{#ff8e00}{10000010_2} \)
7. Alles zusammenschreiben: Vorzeichen + Exponent + Mantisse = \( \color{#4493f8}{0} \ \color{#ff8e00}{10000010} \ \color{#08ae08}{01001}000000000000000000 \)