Mengenlehre
In der Mengenlehre, haben wir „Mengen“, diese Mengen können praktisch alles beinhalten:
\( M = \{1; 2; 3; 4; …\} \)
\( M = \{a, b, c, d, e\} \)
\( M = \{\text{Bananen, Weintrauben, Birnen, Tomaten}\}\)
Verfahren
Wir können Mengen in 2 verschiedenen Arten beschreiben.
Aufzählendes Verfahren
Wir nennen alles was in der Menge enthalten ist.
\( M = \{1; 2; 3; 4; …\} \)
Beschreibendes Verfahren
Wir „beschreiben“ alles was in der Menge enthalten ist.
\( M = \{x \ | \ x \in \mathbb{N}\} \)
„\(x\) und für \(x\) gilt dass \(x\) aus alle natürlichen Zahlen besteht“: \( M = \{ …; -1; 0; 1; … \} \)
Man kann natürlich auch mehr mit diesen Beschreibungen machen:
\( M = \{ x \ | \ x \in \mathbb{N} \land 5 < x < 10 \} \)
„\(x\) und für \(x\) gilt dass \(x\) aus alle natürlichen zahlen besteht, und dass \(x\) größer als 5 und kleiner als 10 ist“: \( M = \{ 6; 7; 8; 9 \} \)
| ist Element von | \( \in \) | kleiner als | \( < \) | für die gilt | \( | \) | ||
| ist kein Element von | \( \notin \) | kleiner gleich | \( \leq \) | ||||
| oder | \( \lor \) | größer als | \( > \) | ||||
| und | \( \land \) | größer gleich | \( \geq \) |
Umwandeln von Verfahren
Indem wir das Lesen vom beschreibenden Verfahren jetzt können, können wir zwischen den 2 Verfahren umwandeln.
Aufzählendes -> Beschreibendes
\( M = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\} \) wird zu… \( \ M = \{ x \ | \ x \in \mathbb{N} \land 0 < x < 7 \} \)
Beschreibendes -> Aufzählendes
\( M = \{x \ | \ x \in \mathbb{N} \land 4 < x\} \) wird zu… \( \ M = \{5; 6; 7; 8; 9; …\} \)
Spezielle Zahlmengen
Mit Zahlenmengen können wir leichter unsere Mengen beschreiben.
| \( \mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; …\} \) | Menge der natürlichen Zahlen |
| \( \mathbb{N^*} = \{1; 2; 3; …\} \) | Menge der natürlichen Zahlen (ohne null) |
| \( \mathbb{P} = \{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; …\} \) | Menge der Primzahlen |
| \( \mathbb{N_g} = \{2; 4; 6; 8; 10; …\} \) | Menge der geraden natürlichen Zahlen |
| \( \mathbb{N_u} = \{1; 3; 5; 7; 9; …\} \) | Menge der ungeraden natürlichen Zahlen |
| \( \mathbb{Z} = \{…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\} \) | Menge der ganzen Zahlen |
| \( \mathbb{Z^-} = \{…; -3; -2; -1\} \) | Menge der negativen ganzen Zahlen |
| \( \mathbb{Z^+} = \{1; 2; 3; 4; …\} \) | Menge der positiven ganzen Zahlen |
| \( \mathbb{Z^+} \) | \( \mathbb{N^*} \) |
| \( \mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} \ | \ a, b \in \mathbb{Z} \land b \neq 0 \} \) | Menge der rationalen Zahlen |