Rationalen Zahlen (\( \mathbb{Q} \))

\( \dfrac{a}{b} \)

\( \text{a … Zähler} \)
\( \text{b … Nenner} \)
\( \text{– … Bruchstrich} \)

Definition: \( \mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} \ | \ a, b \in \mathbb{Z} \land b \neq 0 \} \)
Der Nenner sowie Zähler müssen ganze Zahlen sein!

Arten von Brüchen

• Echter Bruch (Nenner > Zähler): \( \frac{1}{4} \ \ \ \frac{1}{2} \ \ \ \frac{4}{8} \)
• Unechter Bruch (Nenner ≤ Zähler): \( \frac{8}{1} \ \ \ \frac{5}{5} \ \ \ \frac{9}{5} \)
• Stammbruch (Zähler = 1): \( \frac{1}{2} \ \ \ \frac{1}{3} \ \ \ \frac{1}{8} \)
• Dezimalbruch (Nenner = Zehnerpotenz): \( \frac{1}{10} \ \ \ \frac{1}{100} \ \ \ \frac{1}{1000} \)

Addieren

\( \frac{1}{3} + \frac{4}{6} = \text{ ?} \)

1. Alle Brüche auf den gemeinsamen Nenner bringen: \( \frac{1}{3} + \frac{4^{\colon 2}}{6_{\colon 2}} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \)
2. Einfach alle Zähler addieren: \( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} \)

Subtrahieren

\( \frac{4}{4} - \frac{2}{8} = \text{ ?} \)

1. Alle Brüche auf den gemeinsamen Nenner bringen: \( \frac{4}{4} - \frac{2^{\colon 2}}{8_{\colon 2}} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \)
2. Einfach alle Zähler Subtrahieren: \( \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

Multiplizieren

\( \frac{5}{12} \cdot \frac{8}{15} = \text{ ?} \)

1. Alle Brüche in einem Bruch zusammenschreiben: \( \frac{5}{12} \cdot \frac{8}{15} = \frac{5 \cdot 8}{12 \cdot 15} \)
2. Kürzen: \( \frac{5 \cdot 8}{12 \cdot 15} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9} \)

Division

\( \frac{5}{6} : \frac{4}{5} = \text{ ?} \)

1. Man tauscht beim zweiten Bruch den Nenner und Zähler: \( \frac{5}{6} : \frac{4}{5} = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{4} \)
2. Und rechnet es aus: \( \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{24} \)